Matematické kyvadlo: obdobie, zrýchlenie a vzorce
Mechanický systém, ktorý pozostáva zMateriálový bod (telo), ktorý visí na neroztiahnuteľnej beztvovej nite (jeho hmotnosť je zanedbateľná v porovnaní s telesnou hmotnosťou) v jednotnom teste gravitácie sa nazýva matematické kyvadlo (tiež nazývané oscilátor). Existujú aj iné typy tohto zariadenia. Namiesto vlákna sa môže použiť beztáčiková tyč. Matematické kyvadlo môže jasne odhaliť podstatu mnohých zaujímavých javov. S malou amplitúdou oscilácie sa jeho pohyb nazýva harmonický.
Všeobecné informácie o mechanickom systéme
Ak je kyvadlo v rovnovážnej polohe(vertikálne visí), gravitácia bude vyvážená silou napätia nite. Ploché kyvadlo na nerozťaženom vlákne je systém s dvoma stupňami voľnosti s pripojením. Pri zmene len jednej zložky sa charakteristiky všetkých jej častí menia. Takže, ak je závit nahradený tyčou, potom tento mechanický systém bude mať len 1 stupeň voľnosti. Aké sú vlastnosti matematického kyvadla? V tomto najjednoduchšom systéme sa chaos vyskytuje pod vplyvom periodickej poruchy. V prípade, keď sa bod zavesenia nehýbe, ale osciluje, na kyvadle sa objaví nová rovnovážna pozícia. S rýchlymi výkyvmi hore a dole, tento mechanický systém získa stabilnú pozíciu "hore nohami". Má vlastné meno. Nazýva sa kyvadlo Kapitsa.
Vlastnosti kyvadla
• Ak, pri zachovaní rovnakej dĺžky kyvadla,pozastaviť rôzne zaťaženia, doba ich oscilácií bude rovnaká, aj keď ich hmotnosť sa značne líši. Následkom toho takéto kyvadlo nezávisí od hmotnosti záťaže.
• Ak sa po spustení systému odkloní kyvadlonie príliš veľké, ale rozdielne uhly, začne oscilovať s rovnakým časom, ale pri rôznych amplitúdach. Pokiaľ odchýlky od stredu rovnováhy nie sú príliš veľké, oscilácie v ich podobe budú dosť harmonické. Doba takého kyvadla nezávisí od oscilujúcej amplitúdy. Táto vlastnosť tohto mechanického systému sa nazýva izochronizmus (v gréčtine, "chronos" je čas, "isos" je rovnaký).
Obdobie matematického kyvadla
Tento indikátor je obdobieprirodzené vibrácie. Napriek komplikovanému zneniu je samotný proces veľmi jednoduchý. Ak je dĺžka vlákna matematického kyvadla L a zrýchlenie gravitácie je g, potom sa táto hodnota rovná:
T = 2 μL / g
Obdobie malých prirodzených oscilácií v žiadnom prípade nie je závislé od hmotnosti kyvadla a amplitúdy oscilácií. V tomto prípade sa kyvadlo pohybuje ako matematika so zmenšenou dĺžkou.
Oscilácie matematického kyvadla
Matematické kyvadlo osciluje, čo môže byť opísané jednoduchou diferenciálnou rovnicou:
x + ω2 sin x = 0,
kde x (t) je neznáma funkcia (to je uholodchýlky od dolnej rovnovážnej polohy v čase t, vyjadrené v radiánoch); ω je kladná konštanta, ktorá sa určuje z parametrov kyvadla (ω = √g / L, kde g je zrýchlenie gravitácie a L je dĺžka matematického kyvadla (suspenzie).
Rovnica malých kmitov v blízkosti rovnovážnej polohy (harmonická rovnica) vyzerá takto:
x + ω2 sin x = 0
Oscilačný pohyb kyvadla
Matematické kyvadlo, ktoré robí malékmitanie, pohybujúce sa po sínusovej vlne. Diferenčná rovnica druhého rádu spĺňa všetky požiadavky a parametre takéhoto pohybu. Ak chcete určiť trajektóriu, musíte určiť rýchlosť a súradnicu, z ktorých sa potom určujú nezávislé konštanty:
x = A sin (θ0 + ωt),
kde θ0 Je počiatočná fáza, A je amplitúda kmitania, ω je cyklická frekvencia určená z rovnice pohybu.
Matematické kyvadlo (vzorce pre veľké amplitúdy)
Tento mechanický systém, ktorý vykonáva vibrácie s výraznou amplitúdou, sa riadi zložitejšími zákonmi pohybu. Pre toto kyvadlo sú vypočítané podľa vzorca:
sin x / 2 = u * sn (ωt / u),
kde sn je sínus Jacobi, ktorý pre u <1 je periodická funkcia a pre malé u sa zhoduje s jednoduchým goniometrickým sínusom. Hodnota u sa určuje nasledujúcim výrazom:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
kde ε = E / mL2 (mL2 je energia kyvadla).
Stanovenie doby oscilácie nelineárneho kyvadla sa uskutočňuje podľa vzorca:
T = 2π / Ω,
kde Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K je eliptický integrál, π - 3,14.
Pohyb kyvadla na separátore
Separatrisoy nazval trajektóriu dynamikysystém, ktorý má dvojrozmerný fázový priestor. Matematické kyvadlo sa na ne pohybuje nepravidelne. V nekonečne vzdialenej dobe spadá z extrémnej hornej polohy na stranu pri nulovej rýchlosti a potom ju postupne vytáča. Nakoniec sa zastaví a vráti sa do východiskovej pozície.
Ak sa amplitúda oscilácie kyvadla približuje k číslu πTo naznačuje, že pohyb na fázerovina pristupuje k separatrix. V tomto prípade mechanický systém vykazuje chaotické správanie pod pôsobením malej periodickej sily.
Keď sa matematické kyvadlo odchyľuje odrovnovážna poloha s určitým uhlom φ vznikne tangenciálnou gravitáciou Fτ = -mg sin φ. Znak mínus znamená, že táto dotyčnica je smerovaná v smere opačnom k odchýlke kyvadla. Keď x je označené posunom kyvadla pozdĺž oblúka kružnice s polomerom L, jeho uhlové posunutie je φ = x / L. Druhý zákon Isaaca Newtona, určený pre premietanie vektora zrýchlenia a sily, dá požadovanú hodnotu:
mg τ = Fτ = -mg sin x / L
Na základe tohto vzťahu je to jasnékyvadlo je nelineárny systém, pretože sila, ktorá sa snaží vrátiť ho do rovnovážnej polohy, je vždy úmerná posunu x, ale sin x / L.
Len v prípade matematického kyvadlavykonáva malé kmity, je to harmonický oscilátor. Inými slovami, stáva sa mechanickým systémom schopným vykonávať harmonické oscilácie. Táto aproximácia je prakticky platná pre uhly 15-20 °. Oscilácie kyvadla s veľkými amplitúdami nie sú harmonické.
Newtonov zákon o malých osciláciách kyvadla
Ak tento mechanický systém vykoná malé oscilácie, Newtonov zákon bude vyzerať takto:
mg t = Ft = -m * g / L * x.
Na základe toho môžeme konštatovať, žetangenciálne zrýchlenie matematického kyvadla je úmerné jeho posunutiu so znamienkom mínus. Toto je stav, ktorým sa systém stáva harmonickým oscilátorom. Modul koeficientu proporcionality medzi posunom a zrýchlením sa rovná štvorcu kruhovej frekvencie:
ω02 = g / l; ω0 = √g / L.
Tento vzorec odráža prirodzenú frekvenciu malých oscilácií tohto typu kyvadla. Na základe toho,
T = 2π / ω0 = 2π√g / L.
Výpočty založené na práve na zachovanie energie
Vlastnosti oscilačných pohybov kyvadla je možné opísať aj pomocou zákona o zachovaní energie. Treba mať na pamäti, že potenciálna energia kyvadla v oblasti gravitácie je:
E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mg L2 sin 2 α / 2
Celková mechanická energia sa rovná kinetickému alebo maximálnemu potenciálu: Epmax = Ekmsx = E
Po napísaní zákona o zachovaní energie odoberte deriváciu pravých a ľavostranných strán rovnice:
Ep + Ek = konst
Keďže derivát konštantných hodnôt je 0, potom (Ep + Ek) "= 0. Derivát sumy sa rovná súčtu derivátov:
Ep "= (mg / L * x2 / 2)" = mg / 2L * 2x * x "= mg / L * v + Ek" = (mv2 / 2v * v "= mv * α,
preto:
Mg / L * xv + mva = v (mg / l * x + m a) = 0.
Na základe posledného vzorca nájdeme: α = - g / L * x.
Praktická aplikácia matematického kyvadla
Zrýchlenie gravitácie sa menígeografická šírka, keďže hustota zemskej kôry nie je na celej planéte rovnaká. Tam, kde sú horniny s vyššou hustotou, bude mierne vyššie. Zrýchlenie matematického kyvadla sa často používa pri geologickom prieskume. Hľadajú rôzne minerály. Stačí počítať počet kmitov kyvadla, môžete nájsť uhlie alebo rudu v hlbinách zeme. To je spôsobené tým, že takéto minerály majú hustotu a hmotnosť viac ako voľné skaly ležiace pod nimi.
Matematické kyvadlo sa tešilovynikajúci učenci ako Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Mnohí z nich verili, že tento mechanický systém by mohol ovplyvniť osud a život človeka. Archimedes vo svojich výpočtoch použil matematické kyvadlo. V súčasnosti mnoho okultistov a psychikov používa tento mechanický systém na plnenie svojich proroctiev alebo hľadanie nezvestných ľudí.
Slávny francúzsky astronóm aPrírodovedec K. Flammarion tiež použil matematické kyvadlo pre svoj výskum. Tvrdil, že s jeho pomocou dokázal predpovedať objavenie novej planéty, vzhľad meteoritu Tunguska a ďalšie dôležité udalosti. Počas druhej svetovej vojny v Nemecku (Berlín) pôsobil špecializovaný ústav kyvadla. V súčasnosti sa Mníchovský inštitút parapsychológie zaoberá podobným výskumom. Zamestnanci tejto inštitúcie volajú svoju prácu s kyvadlom "radiostezia".
